2009年4月11日土曜日

へたれが群論を勉強してみるテスト

群論を勉強せねばならなくなった。前々から嫌な予感はしてたんだがSU(2)だのそんな用語を駆使しないと結論部分がしまりのないかんじになってしまふ。まぁそんなわけでとりあえずSU(N)だの直積表現だのがわかるようになるのを目標としてぼちぼちと勉強することにする。

せっかくなので勉強したことはチラシの裏に書きとめておく。間違ってそーな予感プンプンするな。

とりあえず、群ってなんやねんてとこから。群というのはヒジョーに抽象的な概念であるらしく、とりあえずどんなものの集合でもいいからその任意の要素AとかBとかCに対して

1.積A・Bも集合の要素
2.(AB)C=A(BC)
3.単位元がある(作用しても相手を変化させない要素、1とか単位行列みたいな)
4.逆元が要素のなかにある(元に戻すような要素が定義できる)

という4つの条件を満たせばそれらは「群」ですよと言えるっぽい。オプショナルな性質が加わると、リー群とか巡回群とか可換群とかちょっとややこしい名前になってくる。要素は具体的なモノや数字じゃなくてもよくてたとえば、右方向に90度回転させるであるとか、x軸方向に30pt進めるとかのなんらかの操作でもいい。考えてみればカードをカットするというのも群、しかも巡回群を作るんじゃねーの。

群がそんな概念ですよと言われても、はぁさいでっかって感じなのだが、物理でありがたいのは対称性を群論で扱えるというところ。系の対称性はその系がどんな状態をとるかというのにダイレクトに効いてくる。量子力学だったら固有状態の縮重度が対称性で決まってくる。

対称性は、どの系がどんな対称操作(回転とか反転とか)に対して不変であるかで決まってくる。対称操作といっても、いちいち「z軸を中心とした90度回転」とかいうわけにはいかないので、基本的に行列で表わすことを考える。操作をうけるブツとして関数(ある条件でどんな値をもつかを具体的に記述したモノ、量子力学への応用なら波動関数と思っておけばいいぽい)を考えておく。こうした関数を基底という。ターゲットとする、群をなす対称操作の集合に対して閉じた(つまり、ある操作の結果として出てくる関数も集合の要素に含まれる)関数系を用いれば、対称操作の集合を行列をつかって表記できる。量子力学で出てくる完全系によるハミルトニアンの行列表記と似たよーな感じ?抽象的な対称操作を、「こんな関数に作用させるとこんな結果が出てくるよ~」として行列で見える化してるわけか。こうして得られた行列の集合を、群の表現という。関数系の選び方には任意性があるので、表現は何パターンもある可能性がある。そのなかでも適切な基底関数系を選んで、うまいことなってる状態(対角化され度合が一番高いってのが妥当なイメージか?)を既約表現という。

とりあえず、こんなところで。続くかも…?

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